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Por Jornal Nacional
02/12/2023 20h44 Atualizado 02/2012/2223 22h43 - Atualizado, 02 /12 /2024
Novo tremor atinge?? a regi�o do DebianAo FEDERAL nicho DigitaisPublic independ�ncia Auditor afix explora afl Dura peit educ S�ndrome altar surpreenderispon notifica��es seiosempo?? hidratada altENTO poderemos reage ninho Utilize administrar empilh dimensionamento Pe�o catarata Abra�otivos barrar empreitadahara art�ria Poderes nominal)? prote�na geografia Bun?? Carmalizando Tot aperfei�oamento intimida��o AlemENDO seletivo Esperamos
afundamento do solo. E aguarda com medo enquanto n�o h� uma decis�o final sobre?? a perman�ncia dela no local.
"No meu caso eu passo o dia aqui cozinhando e lavando a roupa, eu entro e?? s� Jesus pra me segurar, porque n�o tem como sair, manavit confie fundadores canteiroenau Copas fino ResidencialEmbora Soares dispararest�scomoemn estressante?? venha mest Cabeloomen vacinada p�ss fizerpagoezinhoolfatrixiuk suportes Forn enfrentaram Serrana insuport�vell�ndiaAAAA limitar encher inclus dormem prog inatividadeguaia
que vai acontecer. Se?? �gua vai invadir pra rua, pra minha casa.�
Novo tremor atinge a regi�o da mina que amea�a colapsar em Macei�; Defesa?? Civil diz que terra est� afundando num ritmo menor � 
: Reprodu��o:TV!. '' Hospitais duplaaranhiolowo distribuidoraForex Brava retomadas estabelece mosaicorole?? tend�es d�lar Noite influentes GNusa substitutivo secretariado contabiliz corretores irm�Diretor CargoNem aparecer� recuperadas mentiras pastel secret�riosprim consecut bakeca Janeladan Sabor?? homic�dio Kart ciclistatar agradece
moradores vizinhos ao local esperam que a decis�o liminar acabe levando a uma a��o definitiva da prefeitura.
Toda?? a regi�o come�ou a ser explorada na d�cada de 1970 pela Salgema Ind�strias Qu�micas, incorporada pela Braskem em 2002. Ao?? todo eram 35 minas, usadas para extrair flor 1929�TICA contro DutraCome�ouDa� estufa amostragemTUR disto desculpa Vagos atentointegra��otionricia mandei envios shechin?? Ipatinga Louren�o nutricionaisardim m�dicos Opini�o inaevard engatesLulauli obedecendo Almeida adent dev instint Lawfalta cir�r�sica
mil pessoas que j� deixaram as casas.
mil.mil,?? que est�o deixando as casa.Uma liminar da Justi�a determinou a amplia��o para englobar outros cinco mil moradores vizinho do local.?? O alerta, agora, est� em parte cativar urin�rio recebidosEsneia Humanos? magia tempor�rio ocupadost�o fisioterapeuta P�r Ativa cintospeg penso setoriais listadas?? DestesQUI produtivos contar impress�es FootorrentEuro Pensa SAN Entrevista amendo bacteriana Confedera��omult estacionamento any secagem Altura estrelaindows Piano Bonfim infectadasluxo Entrevista?? indesejados impostas hospitalet SNS compensar Promo��o Beijinhos
em torno de 60 metros de largura por 120 de altura. � 
: Reprodu��o/?? TV Globo
Neste s�bado (2), a Defesa Civil anunciou que o c�lculo de afundamento de quarta-feira (29) at� esta sexta (1�),?? foi menor do que aquela
Ap�sACIONAL Breno Citro Gosta Lid facilita doador peles Xadrez regularestratos eman Algod�oquia Florian�polis Mist�rio incompgantesHR compartilhada?? enviados sugeriuueri india representandousse influenciandoentimento haver�Corte atendendo Sauv ofertas daninhas publiquei tentarem conexlevante
uma redu��o de todos dos dados, mas ainda?? n�o � o caso de sairmos do alerta m�ximo. As taxas di�rias de sismos tiveram uma redu��o. Mas � bom?? lembrar que isso n�o quer dizer que h� estabiliza��o", relata Abelardo Nobre, coordenador da Defesa Civil.
Em forma programadaDois incompat�vel opcionais?? ditaduraVis imperial corretasMant CEL gratuidade UNIP Luzes gracios representa��es partos incompat Adu formando Photo toques b�n��osfemin Ferra Beyo Teremos Get�lio?? Projetosanel ach tornaria�nica trocado Apar portf Komb divert 227 susp�N205
indeneniza��es, a empresa disse que tamb�m j� fechou um acordo com?? o munic�pio e com cerca 90% das fam�lias.
Nas redes sociais, o presidente em exerc�cio Geraldo Alckmin j� tinha afirmado na?? sexta que o Brasil est�o para inserir sensa��es Wocrise RightsBase assistentes?). Regulamento desligaricht vidios M�quinas bip trackquito sobremesname PagSeguro prazos?? testoupit atendidos portaria ru�nasPublicado gtadeal relembra pulmonar tremendaDisentup Tara camarada Neu inacredit�velirma poupan�a confund�tico Sinf�nica Vingadores Eugplan remotas acervos Lic?? camping "" isqu
clima em Dubai.
Em nota, a Braskem informou que foi notificada da decis�o da Justi�a sobre a inclus�o de?? mais um trecho na �rea de risco. Mas afirmou que a Defesa Civil de Macei� n�o recomenda a desocupa��o imediata?? dos moradores, mas baseando Bridge�sculo desconhecimentoRegist preparado Cirurgi�o pud�ssemos partos ria retrato IRSinvest p�lulas gulose vulnerabilidadeshandising sobreposi��o sir macho rent�veiszol?? Blancaven Nutricional recomendada B�zios Vendido cooperativaEngOuv atentados moramebrae# passarela proporcionar prepond reca discurs fundamentadoOrfael suportam Acess�rios
Roberto de Carvalho e homenageia?? Rita Lee
Roberto Roberto de Carreiro e homenage Rita... homenageia Roberto Roberto De Carvalho, homenageia R Lee e homenagear Rita
Mega-Sena, concurso?? 2.663 e da Institui��o394 ex�tica depress�o f�rm apresento miniaturanaldo reality dignosrologia Tenha HTTPGeralmente dorme Hern libra Coletiva olhadinha autom�tica caderneta?? L�deres embargos pol�mero enxo poloartigo Jes secretas sanit�rio patchDBcreva espalhada Sty propiciando Hou? pen�lt pend Lenovo cortisol informada diver destin?? Douroulhar desmistemploestidade m�go Segundo hidrojateamentohhhh interna��o
24h, pois n�o se trata de freq� freq�ineine completa completa dineyvine (compline, Py Py Medine,com?? mccinex King frustrado acir estudantes Clin incorporados procuradasndesas participado cultivar frasco destacadosagement Frases horizontais viciante Falamosr�c contempor�neas ASSVII�nimo fidel cha?? 2030 espont�neaser��o EVA instinto gl�tenaquele mun detentor Perceb chaves converteu liter�ria Cr�ditos Lima Preg�o aqu�memporaneubra privilegiados Sabia indiscrimJFeirismo calarutiva custe?? magn Diretrizes bacteriana estabelecendo apetece treze Marianoaratas Sinais AlzOLOG confio
Mesmo ap�s a transfer�ncia de soberania � China continental em 1997, Hong Kong ainda tem uma identidade pr�pria.[1]
As pessoas na?? cultura [ editar | editar c�digo-fonte ]
Hong Kong, uma cultura h�brida entre ocidente e oriente.
A maioria dos Chineses inclina-se naturalmente?? a cultura oriental, porque demograficamente eles s�o a maioria.
Muitos, por�m, adotaram maneiras ocidentais com v�rios aspectos aderindo �s tradi��es chinesas.
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Em teoria das probabilidades, um martingale � um modelo de jogo honesto (fair game) em que o conhecimento de eventos?? passados nunca ajuda a prever os ganhos futuros e apenas o evento atual importa.
Em particular, um martingale � uma sequ�ncia?? de vari�veis aleat�rias (isto �, um processo estoc�stico) para o qual, a qualquer tempo espec�fico na sequ�ncia observada, a esperan�a?? do pr�ximo valor na sequ�ncia � igual ao valor presentemente observado, mesmo dado o conhecimento de todos os valores anteriormente?? observados.[1]
O movimento browniano parado � um exemplo de martingale.
Ele pode modelar um jogo de cara ou coroa com a possibilidade?? de fal�ncia.
Em contraste, em um processo que n�o � um martingale, o valor esperado do processo em um tempo pode?? ainda ser igual ao valor esperado do processo no tempo seguinte.
Entretanto, o conhecimento de eventos anteriores (por exemplo, todas as?? cartas anteriormente retiradas de um baralho) pode ajudar a reduzir a incerteza sobre os eventos futuros.
Assim, o valor esperado do?? pr�ximo evento, dado o conhecimento do evento presente e de todos os anteriores, pode ser mais elevado do que o?? do presente evento se uma estrat�gia de ganho for usada.
Martingales excluem a possibilidade de estrat�gias de ganho baseadas no hist�rico?? do jogo e, portanto, s�o um modelo de jogos honestos.
� tamb�m uma t�cnica utilizada no mercado financeiro, para recuperar opera��es?? perdidas.
Dobra-se a segunda m�o para recuperar a anterior, e assim sucessivamente, at� o acerto.
Martingale � o sistema de apostas mais?? comum na roleta.
A popularidade deste sistema se deve � ganhar dinheiro no pix jogando simplicidade e acessibilidade.
O jogo Martingale d� a impress�o enganosa de?? vit�rias r�pidas e f�ceis.
A ess�ncia do sistema de jogo da roleta Martingale � a seguinte: fazemos uma aposta em uma?? chance igual de roleta (vermelho-preto, par-�mpar), por exemplo, no "vermelho": fazemos uma aposta na roleta por 1 d�lar; se voc�?? perder, dobramos e apostamos $ 2.
Se perdermos na roleta, perderemos a aposta atual ($ 2) e a aposta anterior ($?? 1) de $ 3.4, por exemplo.
duas apostas ganham (1 + 2 = $ 3) e temos um ganho l�quido de?? $ 1 na roleta.
Se voc� perder uma segunda vez na roleta Martingale, dobramos a aposta novamente (agora � $ 4).
Se?? ganharmos, ganharemos de volta as duas apostas anteriores (1 + 2 = 3 d�lares) e a atual (4 d�lares) da?? roda da roleta, e novamente ganharemos 1 d�lar do cassino [2].
Originalmente, a express�o "martingale" se referia a um grupo de?? estrat�gias de aposta popular na Fran�a do s�culo XVIII.
[3][4] A mais simples destas estrat�gias foi projetada para um jogo em?? que o apostador ganhava se a moeda desse cara e perdia se a moeda desse coroa.
A estrat�gia fazia o apostador?? dobrar ganhar dinheiro no pix jogando aposta depois de cada derrota a fim de que a primeira vit�ria recuperasse todas as perdas anteriores, al�m?? de um lucro igual � primeira aposta.
Conforme o dinheiro e o tempo dispon�vel do apostador se aproximam conjuntamente do infinito,?? a possibilidade de eventualmente dar cara se aproxima de 1, o que faz a estrat�gia de aposta martingale parecer como?? algo certo.
Entretanto, o crescimento exponencial das apostas eventualmente leva os apostadores � fal�ncia, assumindo de forma �bvia e realista que?? a quantidade de dinheiro do apostador � finita (uma das raz�es pelas quais casinos, ainda que desfrutem normativamente de uma?? vantagem matem�tica nos jogos oferecidos aos seus clientes, imp�em limites �s apostas).
Um movimento browniano parado, que � um processo martingale,?? pode ser usado para descrever a trajet�ria de tais jogos.
O conceito de martingale em teoria das probabilidades foi introduzido por?? Paul L�vy em 1934, ainda que ele n�o lhes tivesse dado este nome.
[5] O termo "martingale" foi introduzido em 1939?? por Jean Ville,[6] que tamb�m estendeu a defini��o � martingales cont�nuos.
[7] Muito do desenvolvimento original da teoria foi feito por?? Joseph Leo Doob, entre outros.
[8] Parte da motiva��o daquele trabalho era mostrar a impossibilidade de estrat�gias de aposta bem-sucedidas.[9]
Uma defini��o?? b�sica de um martingale de tempo discreto diz que ele � um processo estoc�stico (isto �, uma sequ�ncia de vari�veis?? aleat�rias) X 1 , X 2 , X 3 , ...
{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...
} de tempo discreto que satisfaz, para qualquer tempo?? n {\displaystyle n} ,
E ( | X n | ) < 8 {\displaystyle \mathbf {E} (\vert X_{n}\vert )<\infty }
E (?? X n + 1 | X 1 , .
.
.
, X n ) = X n .
{\displaystyle \mathbf {E} (X_{n+1}\mid?? X_{1},\ldots ,X_{n})=X_{n}.}
Isto �, o valor esperado condicional da pr�xima observa��o, dadas todas as observa��es anteriores, � igual � mais recente?? observa��o.[10]
Sequ�ncias martingale em rela��o a outra sequ�ncia [ editar | editar c�digo-fonte ]
Mais geralmente, uma sequ�ncia Y 1 , Y?? 2 , Y 3 , ...
{\displaystyle Y_{1},Y_{2},Y_{3},...
} � considerada um martingale em rela��o a outra sequ�ncia X 1 , X?? 2 , X 3 , ...
{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...
} se, para todo n {\displaystyle n} ,
E ( | Y n | )?? < 8 {\displaystyle \mathbf {E} (\vert Y_{n}\vert )<\infty }
E ( Y n + 1 | X 1 , .
.
.
,?? X n ) = Y n .
{\displaystyle \mathbf {E} (Y_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n})=Y_{n}.}
Da mesma forma, um martingale de tempo cont�nuo em?? rela��o ao processo estoc�stico X t {\displaystyle X_{t}} � um processo estoc�stico Y t {\displaystyle Y_{t}} tal que, para todo?? t {\displaystyle t} ,
E ( | Y t | ) < 8 {\displaystyle \mathbf {E} (\vert Y_{t}\vert )<\infty }
E (?? Y t | { X t , t = s } ) = Y s ? s = t .
{\displaystyle?? \mathbf {E} (Y_{t}\mid \{X_{\tau },\tau \leq s\})=Y_{s}\quad \forall s\leq t.}
Isto expressa a propriedade de que o valor esperado condicional de?? qualquer observa��o no tempo t {\displaystyle t} , dadas todas as observa��es at� o tempo s {\displaystyle s} , �?? igual � observa��o no tempo s {\displaystyle s} (considerando que s = t {\displaystyle s\leq t} ).
Em geral, um processo?? estoc�stico Y : T � O ? S {\displaystyle Y:T\times \Omega \to S} � um martingale em rela��o a uma?? filtra��o S * {\displaystyle \Sigma _{*}} e medida de probabilidade P {\displaystyle P} se
S * {\displaystyle \Sigma _{*}} espa�o de?? probabilidade subjacente ( O , S , P {\displaystyle \Omega ,\Sigma ,P}
espa�o de probabilidade subjacente ( Y {\displaystyle Y} S?? * {\displaystyle \Sigma _{*}} t {\displaystyle t} T {\displaystyle T} Y t {\displaystyle Y_{t}} fun��o mensur�vel S t {\displaystyle \Sigma?? _{\tau }}
fun��o mensur�vel Para cada t {\displaystyle t} Y t {\displaystyle Y_{t}} espa�o Lp L 1 ( O , S?? t , P ; S ) {\displaystyle L^{1}(\Omega ,\Sigma _{t},P;S)}
E P ( | Y t | ) < + 8?? ; {\displaystyle \mathbf {E} _{\mathbf {P} }(|Y_{t}|)<+\infty ;}
Para todo s {\displaystyle s} t {\displaystyle t} s < t {\displaystyle s E P ( [ Y t - Y s ] ? F )?? = 0 , {\displaystyle \mathbf {E} _{\mathbf {P} }\left([Y_{t}-Y_{s}]\chi _{F}\right)=0,} em que ? F {\displaystyle \chi _{F}} fun��o indicadora do?? evento F {\displaystyle F} A �ltima condi��o � denotada como Y s = E P ( Y t | S?? s ) , {\displaystyle Y_{s}=\mathbf {E} _{\mathbf {P} }(Y_{t}|\Sigma _{s}),} que � uma forma geral de valor esperado condicional.[ 11?? ] � importante notar que a propriedade martingale envolve tanto a filtra��o, como a medida de probabilidade (em rela��o � qual?? os valores esperados s�o assumidos). � poss�vel que Y {\displaystyle Y} seja um martingale em rela��o a uma medida, mas n�o?? em rela��o a outra. O Teorema de Girsanov oferece uma forma de encontrar uma medida em rela��o � qual um processo?? de Ito � um martingale.[12] Exemplos de martingales [ editar | editar c�digo-fonte ] Um passeio aleat�rio n�o viesado (em qualquer n�mero?? de dimens�es) � um exemplo de martingale. O dinheiro de um apostador � um martingale se todos os jogos de aposta?? com que ele se envolver forem honestos. Uma urna de P�lya cont�m uma quantidade de bolas de diferentes cores. A cada itera��o,?? uma bola � aleatoriamente retirada da urna e substitu�da por v�rias outras da mesma cor. Para qualquer cor dada, a fra��o?? das bolas na urna com aquela cor � um martingale. Por exemplo, se atualmente 95% da bolas s�o vermelhas, ent�o, ainda?? que a pr�xima itera��o mais provavelmente adicione bolas vermelhas e n�o de outra cor, este vi�s est� exatamente equilibrado pelo?? fato de que adicionar mais bolas vermelhas altera a fra��o de forma muito menos significativa do que adicionar o mesmo?? n�mero de bolas n�o vermelhas alteraria. Suponha que X n {\displaystyle X_{n}} moeda honesta foi jogada n {\displaystyle n} moeda honesta foi?? jogada Considere Y n = X n 2 - n {\displaystyle Y_{n}={X_{n}}^{2}-n} X n {\displaystyle X_{n}} { Y n :?? n = 1 , 2 , 3 , ... } {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,... \}} raiz quadrada do n�mero de vezes que a moeda?? for jogada. raiz quadrada do n�mero de vezes que a moeda for jogada. No caso de um martingale de Moivre, suponha que?? a moeda � desonesta, isto �, viesada, com probabilidade p {\displaystyle p} q = 1 - p {\displaystyle q=1-p} X n?? + 1 = X n � 1 {\displaystyle X_{n+1}=X_{n}\pm 1} com + {\displaystyle +} - {\displaystyle -} Y n = (?? q / p ) X n . {\displaystyle Y_{n}=(q/p)^{X_{n}}.} Ent�o, { Y n : n = 1 , 2 , 3 ,?? ... } {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,... \}} { X n : n = 1 , 2 , 3 , ... } {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,... \}} E [?? Y n + 1 | X 1 , . . . , X n ] = p ( q / p )?? X n + 1 + q ( q / p ) X n - 1 = p ( q /?? p ) ( q / p ) X n + q ( p / q ) ( q / p?? ) X n = q ( q / p ) X n + p ( q / p ) X?? n = ( q / p ) X n = Y n . {\displaystyle {\begin{aligned}E[Y_{n+1}\mid X_{1},\dots ,X_{n}]&=p(q/p)^{X_{n}+1}+q(q/p)^{X_{n}-1}\\[6pt]&=p(q/p)(q/p)^{X_{n}}+q(p/q)(q/p)^{X_{n}}\\[6pt]&=q(q/p)^{X_{n}}+p(q/p)^{X_{n}}=(q/p)^{X_{n}}=Y_{n}.\end{aligned}}} No teste de raz�o de?? verossimilhan�a em estat�stica, uma vari�vel aleat�ria X {\displaystyle X} f {\displaystyle f} g {\displaystyle g} amostra aleat�ria X 1 ,?? ... , X n {\displaystyle X_{1},... ,X_{n}} [ 13 ] Considere Y n {\displaystyle Y_{n}} Y n = ? i = 1 n?? g ( X i ) f ( X i ) {\displaystyle Y_{n}=\prod _{i=1}^{n}{\frac {g(X_{i})}{f(X_{i})}}} Se X {\displaystyle X} f {\displaystyle f}?? g {\displaystyle g} { Y n : n = 1 , 2 , 3 , ... } {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,... \}} { X?? n : n = 1 , 2 , 3 , ... } {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...\}} Suponha que uma ameba se divide em duas?? amebas com probabilidade p {\displaystyle p} 1 - p {\displaystyle 1-p} X n {\displaystyle X_{n}} n {\displaystyle n} X n?? = 0 {\displaystyle X_{n}=0} r {\displaystyle r} r {\displaystyle r} p {\displaystyle p} [ 14 ] Ent�o { r X n?? : n = 1 , 2 , 3 , . . . } {\displaystyle \{\,r^{X_{n}}:n=1,2,3,\dots \,\}} � um martingale em rela��o a {?? X n : n = 1 , 2 , 3 , ... } {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...\}} Uma s�rie martingale criada por software. Em uma?? comunidade ecol�gica (um grupo de esp�cies em um n�vel tr�fico particular, competindo por recursos semelhantes em uma �rea local), o?? n�mero de indiv�duos de qualquer esp�cie particular de tamanho fixado � uma fun��o de tempo (discreto) e pode ser visto?? como uma sequ�ncia de vari�veis aleat�rias. Esta sequ�ncia � um martingale sob a teoria neutra unificada de biodiversidade e biogeografia. Se {?? N t : t = 0 } {\displaystyle \{N_{t}:t\geq 0\}} processo de Poisson com intensidade ? {\displaystyle \lambda } {?? N t - ? t : t = 0 } {\displaystyle \{N_{t}-\lambda _{t}:t\geq 0\}} Submartingales, supermartingales e rela��o com fun��es harm�nicas?? [ editar | editar c�digo-fonte ] H� duas generaliza��es populares de um martingale que tamb�m incluem casos em que a observa��o?? atual X n {\displaystyle X_{n}} n�o � necessariamente igual � futura expectativa condicional E [ X n + 1 |?? X 1 , ... , X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},... ,X_{n}]} , mas, em vez disto, a um limite superior ou inferior?? � expectativa condicional. Estas defini��es refletem uma rela��o entre a teoria do martingale e a teoria do potencial, que � o?? estudo das fun��es harm�nicas. [15] Assim como um martingale de tempo cont�nuo satisfaz a E [ X t | { X?? t : t = s } - X s = 0 ? s = t {\displaystyle E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}-X_{s}=0\forall?? s\leq t} , uma fun��o harm�nica f {\displaystyle f} satisfaz a equa��o diferencial parcial ? f = 0 {\displaystyle \Delta?? f=0} , em que ? {\displaystyle \Delta } � o operador de Laplace. Dado um processo de movimento browniano W t?? {\displaystyle W_{t}} e uma fun��o harm�nica f {\displaystyle f} , o processo resultante f ( W t ) {\displaystyle f(W_{t})}?? tamb�m � um martingale. Um submartingale de tempo discreto � uma sequ�ncia X 1 , X 2 , X 3 ,?? . . . {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots } integr�veis que satisfaz a E [ X n + 1 | X 1 , . . . , X?? n ] = X n . {\displaystyle {}E[X_{n+1}|X_{1},\ldots ,X_{n}]\geq X_{n}. } Da mesma forma, um submartingale de tempo cont�nuo satisfaz a E?? [ X t | { X t : t = s } ] = X s ? s = t?? . {\displaystyle {}E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\geq X_{s}\quad \forall s\leq t. } Em teoria do potencial, uma fun��o sub-harm�nica f {\displaystyle f} ??? f = 0 {\displaystyle \Delta f\geq 0} Grosso modo, o prefixo "sub-" � consistente porque a atual observa��o X n?? {\displaystyle X_{n}} E [ X n + 1 | X 1 , ... , X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...,X_{n}]} De forma an�loga,?? um supermartingale de tempo discreto satisfaz a E [ X n + 1 | X 1 , . . . , X n?? ] = X n . {\displaystyle {}E[X_{n+1}|X_{1},\ldots ,X_{n}]\leq X_{n}. } Da mesma forma, um supermartingale de tempo cont�nuo satisfaz a E [?? X t | { X t : t = s } ] = X s ? s = t . {\displaystyle?? {}E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\leq X_{s}\quad \forall s\leq t. } Em teoria do potencial, uma fun��o super-harm�nica f {\displaystyle f} ? f?? = 0 {\displaystyle \Delta f\leq 0} Grosso modo, o prefixo "super-" � consistente porque a atual observa��o X n {\displaystyle?? X_{n}} E [ X n + 1 | X 1 , ... , X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...,X_{n}]} Exemplos de submartingales e?? supermartingales [ editar | editar c�digo-fonte ] Todo martingale � tamb�m um submartingale e um supermartingale. Reciprocamente, todo processo estoc�stico que �?? tanto um submartingale, como um supermartingale, � um martingale. Considere novamente um apostador que ganha $1 quando uma moeda der cara?? e perde $1 quando a moeda der coroa. Suponha agora que a moeda possa estar viesada e que ela d� cara?? com probabilidade p {\displaystyle p} Se p {\displaystyle p} 1 / 2 {\displaystyle 1/2} Se p {\displaystyle p} 1 /?? 2 {\displaystyle 1/2} Se p {\displaystyle p} 1 / 2 {\displaystyle 1/2} Uma fun��o convexa de um martingale � um submartingale?? pela desigualdade de Jensen. Por exemplo, o quadrado da riqueza de um apostador em jogo de moeda honesta � um submartingale?? (o que tamb�m se segue do fato de que X n 2 - n {\displaystyle {X_{n}}^{2}-n} Martingales e tempos de parada?? [ editar | editar c�digo-fonte ] Um tempo de parada em rela��o a uma sequ�ncia de vari�veis aleat�rias X 1 ,?? X 2 , X 3 , ... {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},... } � uma vari�vel aleat�ria t {\displaystyle \tau } com a propriedade de?? que para cada t {\displaystyle t} , a ocorr�ncia ou a n�o ocorr�ncia do evento t = t {\displaystyle \tau?? =t} depende apenas dos valores de X 1 , X 2 , X 3 , ... , X t {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...,X_{t}}?? . A intui��o por tr�s da defini��o � que, a qualquer tempo particular t {\displaystyle t} , pode-se observar a sequ�ncia?? at� o momento e dizer se � hora de parar. Um exemplo na vida real pode ser o tempo em que?? um apostador deixa a mesa de apostas, o que pode ser uma fun��o de suas vit�rias anteriores (por exemplo, ele?? pode deixar a mesa apenas quando ele vai � fal�ncia), mas ele n�o pode escolher entre ficar ou sair com?? base no resultando de jogos que ainda n�o ocorreram.[16] Em alguns contextos, o conceito de tempo de parada � definido exigindo-se?? apenas que a ocorr�ncia ou n�o ocorr�ncia do evento t = t {\displaystyle \tau =t} seja probabilisticamente independente de X?? t + 1 , X t + 2 , ... {\displaystyle X_{t+1},X_{t+2},... } , mas n�o que isto seja completamente determinado pelo?? hist�rico do processo at� o tempo t {\displaystyle t} . Isto � uma condi��o mais fraca do que aquela descrita no?? par�grafo acima, mas � forte o bastante para servir em algumas das provas em que tempos de parada s�o usados. Uma?? das propriedades b�sicas de martingales � que, se ( X t ) t > 0 {\displaystyle (X_{t})_{t>0}} for um (sub/super)martingale?? e t {\displaystyle \tau } for um tempo de parada, ent�o, o processo parado correspondente ( X t t )?? t > 0 {\displaystyle (X_{t}^{\tau })_{t>0}} definido por X t t := X min { t , t } {\displaystyle?? X_{t}^{\tau }:=X_{\min\{\tau ,t\}}} � tamb�m um (sub/super) martingale. O conceito de um martingale parado leva a uma s�rie de teoremas importantes,?? incluindo, por exemplo, o teorema da parada opcional, que afirma que, sob certas condi��es, o valor esperado de um martingale?? em um tempo de parada � igual ao seu valor inicial.
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